Question

【题目】设定义域为R的奇函数 （a为实数）． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性（不必证明），并求出f（x）的值域；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣ ）+f（2﹣x）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，从而a=1，此时 ，经检验，f（x）为奇函数，所以a=1满足题意． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ，
所以f（x）在R上单调递减，
由2x＞0知2x+1＞1，所以 ，
故得f（x）的值域为 ．
（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，故由 得 ，
又由（Ⅱ）知f（x）为减函数，故得 ，即 ．
令 ，则依题只需k＜gmin（x）．
由”对勾“函数的性质可知g（x）在 上递减，在 上递增，所以 ．
故k的取值范围是 ．
【解析】（Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值；（Ⅱ）可判断f（x）在R上单调递减，由 可求得 的值域；（Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣ ）+f（2﹣x）＞0恒成立可得 ，构造函数令 ，利用”对勾“函数的性质可求得gmin（x），从而可求得实数k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．