Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+x2+（a﹣1）x﹣a，（a∈R），当x≥1时，f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若正实数x1、x2（x1≠x2）满足f（x1）+f（x2）=0，证明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：

当a≥﹣3时， ，f（1）=0．

∴当x≥1时，f（x）≥0成立．

当a＜﹣3时，存在大于1的实数m，使得f'（m）=0

∴当1＜x＜m时，f'（x）＜0成立．

∴f（x）在区间（1，m）上单调递减；

∴当1＜x＜m时，f（x）＜f（1）=0；

∴a＜﹣3不可能成立．

所以a≥﹣3．

（2）解：不妨设x1＜x2

∵正实数x1、x2满足f（x1）+f（x2）=0，

有（1）可知，0＜x1＜1＜x2；

又∵f（x）为单调递增函数，

所以x1+x2＞2x2＞2﹣x1f（x2）＞f（2﹣x1）

又∵f（x1）+f（x2）=0f（x2）=﹣f（x1）

所以只要证明：﹣f（x1）＞f（2﹣x1）f（x1）+f（2﹣x1）＜0

设g（x）=f（x）+f（2﹣x）则g（x）=2[lnx+ln（2﹣x）+x2﹣2x+1]，

可得

∴当0＜x＜1时，g'（x）＞0成立

∴g（x）在区间（0，1）上单调增函数．

又∵g（1）=0

∴当0＜x＜1时，g（x）＜0成立，即f（x）+f（2﹣x）＜0．

所以不等式f（x1）+f（2﹣x1）＜0成立．

所以x1+x2＞2．

【解析】（1）求出导函数，通过当a≥﹣3时，当a＜﹣3时，利用函数的单调性，转化求解a≥﹣3．（2）不妨设x1＜x2推出f（x1）+f（x2）=0f（x2）=﹣f（x1），只要证明：﹣f（x1）＞f（2﹣x1）f（x1）+f（2﹣x1）＜0，设g（x）=f（x）+f（2﹣x）求出 ，利用函数的单调性转化证明即可．