Question

设函数f(x)＝x²－2－1(－3≤x≤3)．

（1）证明：f(x)是偶函数；

（2）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

（3）求函数的值域．

Answer 1

解析：（1）定义域为{ x│－3≤x≤3}，关于原点对称．(1分)

因为f(－x)＝(－x)²－2－1＝x²－2－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，(2分)

所以f(x)是偶函数．(3分)

（2）当x≥0时，f(x)＝x²－2x－1＝(x－1)²－2，

当x＜0时，f(x)＝x²＋2x－1＝(x＋1)²－2．(4分)

所以f(x)＝(5分)

函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分)

f(x)在区间[－3，－1]，[0，1]上为减函数，在[－1，0，[1，3]上为增函数．(7分)

（3）当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)²－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；(9分)

当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)²－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2．(11分)

故函数的值域为[－2，2]．(12分)