Question

AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC=θ，PA=AB=2r，求异面直线PB和AC的距离．

Answer 1

分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值．

解答：解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH=x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD．
∴MD²=x²+[（2r-x）sinθ]²=（sin²+1）x²-4rsin²θx+4r²sin²θ=（sin²θ+1）[x-

2rsin2θ

1+sin2θ

]²+

4r2sin2θ

1+sin2θ

即当x=

2rsin2θ

1+sin2θ

时，MD取最小值

2rsinθ

1+sin2θ

为两异面直线的距离．
由A、B、C成等差数列，可得B=60°；
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得
tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=

3

（1+

3

）
设tanA、tanC是方程x²-（

3

+3）x+2+

3

=0的两根，解得x₁=1，x₂=2+

3

设A＜C，则tanA=1，tanC=2+

3

，∴A=

π

4

，C=

5π

12

由此容易得到a=8，b=4

6

，c=4

3

+4．

点评：本题主要考查了点线面间的距离计算，函数思想的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．