Question

设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，S_n为其前n项和，m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，求证：

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．

Answer 1

分析：依题意，分q=1与q≠1讨论，利用分析法与基本不等式即可证得结论成立．

解答：解：当各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q=1时，

1

S 2 m

+

1

S 2 n

=

1

(ma1)2

+

1

(na1)2

=

1

a12

（

1

m2

+

1

n2

）≥

1

a12

×

2

mn

，
∵m、n、p均为正整数，且满足m+n=2p，
∴2p≥2

mn

，
∴

2

p2

≤

2

mn

，
∴

1

a12

•

2

p2

≤

1

a12

•

2

mn

，又

2

S 2 p

=

1

a12

•

2

p2

；
∴

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

；
当q≠1时，

1

S 2 m

=

(1-q)2

a12(1-qm)2

，

1

S 2 n

=

(1-q)2

a12(1-qn)2

，

1

S 2 p

=

(1-q)2

a12(1-qp)2

，
要证

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

，只需证

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qp)2

．
∵

1

(1-qm)2

+

1

(1-qn)2

≥

2

(1-qm)(1-qn)

，
∴只需证（1-q^m）•（1-qⁿ）≤（1-q^p）²，
即证-q^m-qⁿ+q^m+n≤-2q^p+q^2p，∵m+n=2p，
∴只需证q^m+qⁿ≥2q^p．
∵q^m+qⁿ≥2

qm•qn

=2

qm+n

=2q

m+n

2

=2q^p成立，
∴q≠1时，原结论成立．
综上所述，

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

．

点评：本题考查等比数列的前n项和，突出分析法的应用，着重考查抽象思维与运算能力，考查逻辑推理与证明能力，属于难题．