Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知△ABC的周长为

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinC．
（1）求C的值；
（2）若△ABC的面积为

1

6

sinC，求角C的度数．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简sinA+sinB=

2

sinC，得到a，b和c的关系式，再由三角形的周长为

2

+1又得到a，b和c的关系式，两者联立即可求出c的值；
（2）由三角形的面积表示出三角形ABC的面积，让其等于

1

6

sinC，化简后得到ab的值，由（1）中求出的c的值根据周长求出a+b的值，然后由余弦定理表示出cosC，变形后把a+b，ab和c的值代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

解答：解：（1）sinA+sinB=

2

sinC及正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
得：a+b=

2

c，
∵a+b+c=

2

+1，
∴

2

c+c=

2

+1，
∴c=1；
（2）∵

1

2

absinC=

1

6

sinC，
∴ab=

1

3

，
∵c=1，∴a+b=

2

，
由余弦定理得：
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

2-2× 1 3 -1

2× 1 3

=

1

2

，又B∈（0，180°），
所以C=60°．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．