设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称,且f′(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性,并求出单调区间 。
(1)a=3、 b=—12;(2) 单调等增区间为(-∞,-2)和(1,+∞),单调递减区间为(-2,1)。
【解析】
试题分析:(1) 因为f′(x) 的图象关于直线x=-对称,所以,所以a=3;又f′(1)=0,所以b=—12。
(2)由(1)知,知f(x)=2x3+3x2-12x+1,所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2),
令f′(x)=0,得x=1或x=-2,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增函数;
当x∈(-2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(-2,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数。
所以f(x)的单调等增区间为(-∞,-2)和(1,+∞),单调递减区间为(-2,1)。
考点:本题考查利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质。
点评:当f(x)不含参数时,可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或单调递减)区间。但要注意函数的定义域。
科目:高中数学 来源:广西河池市高中2009届高考模拟试卷(一)、数学试题 题型:044
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,
(1)当a=1时,试用单调性的定义证明f(x)为单调增函数;
(2)当x∈[1,3]时,f(x)的最小值为4,求a的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
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