Question

【题目】

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1.

【解析】

（I）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（II）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC

（I）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（II）设正方形边长a，则．

又，所以∠SDO＝60°．

连OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，

即二面角P－AC－D的大小为30°

（III）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．

由（II）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD．过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO．

又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC．

由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1