Question

已知函数f（x）=2sin²x+sin2x，x∈[0，2π]．求使f（x）为正值的x的集合．

Answer 1

分析：法一：化简函数f（x）=2sin²x+sin2x，令其大于0，结合正弦函数的性质求出x的范围．
法二：可以对函数分解因式，分类讨论函数的正负，求出适合条件的x的范围即可．

解答：解：法一：∵f（x）=1-cos2x+sin2x（2分）=1+

2

sin(2x-

π

4

)（4分）
∴f(x)＞0?1+

2

sin(2x-

π

4

)＞0?sin(2x-

π

4

)＞-

2

2

（6分）
?-

π

4

+2kπ＜2x-

π

4

＜

5π

4

+2kπ（8分）?kπ＜x＜

3π

4

+kπ（10分）
又x∈[0，2π]．
∴x∈(0，

3π

4

)∪(π，

7π

4

)（12分）
法二：f（x）=2sin²x+sin2x=2sin²x+2sinxcosx=2sinx（sinx+cosx）
f（x）为正值当且仅当sinx与sinx+cosx同号，
在x∈[0，2π]上，
若sinx与sinx+cosx均为正值，则x∈(0，

3π

4

)；
若sinx与sinx+cosx均为负值，则x∈(π，

7π

4

)
所以所求x的集合为(0，

3π

4

)∪(π，

7π

4

)．

点评：本题考查正弦函数的单调性，两角和与差的正弦函数，考查计算能力，是基础题．