Question

函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），
（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；
（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，求y=f（x）的表达式y=f_n（x）；
（3）若函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）=af（x），函数y=f（x），x∈R是周期函数
∴a=±1
当a=1时，f（x+1）=f（x），则T=1
当a=-1时，f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=f（x），则T=2
（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时
f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）
（3）∵f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴
当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去
当a=1时符合
当a=-1时符合
当0＜a＜1时符合
当-1＜a＜0时符合
∴a∈[-1，0）∪（0，1]
分析：（1）根据f（x+1）=af（x），函数y=f（x），x∈R是周期函数，求出a的值，然后分别求出a所对应的周期；
（2）利用递推关系可得f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），然后将x-n代入当0≤x≤1时，f（x）的解析式；
（3）要使函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是闭区间，而f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），则，讨论|a|与1的大小，验证函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是否是闭区间即可．
点评：本题主要考查了函数的周期性，以及函数解析式和函数再给定区间上的值域，属于中档题．