Question

若椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e为

3

5

，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示出|MQ|²，利用配方法可得结论；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|²+|PB|²，根据|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．

解答：解：（1）由题意可得：抛物线y²=-12x的焦点（-3，0），
∵e=

c

a

=

3

5

，∴a=5，∴b=

a2-c2

=4
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）设Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=

9

25

x2-4x+20
∵对称轴为x=

50

9

＞5，∴x=5时，|MQ|²取得最小值
∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=k（x-m）
直线代入椭圆方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂=

50mk2

25k2+16

，x₁x₂=

25m2k2-400

25k2+16

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=-

32mk

25k2+16

，y₁y₂=

(16m2-400)k2

25k2+16

∴|PA|²+|PB|²=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=（k²+1）•

(512-800k2)m2+800(25k2+16)

(25k2+16)2

∵|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，
∴512-800k²=0，解得k=±

4

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．