Question

（本小题满分13分）
某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求、边的长分别为和外，还特别要求包装盒必需满足：①平面平面；②平面与平面所成的二面角不小于；③包装盒的体积尽可能大。
若设计部门设计出的样品满足：与均为直角且长，矩形的一边长为，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．

Answer 1

解：该包装盒的样品设计符合客户的要求。
（1）以下证明满足条件①的要求.
∵四边形为矩形，与均为直角，
∴且 ∴面，
在矩形中，∥
∴面∴面面  ………………………………………………3分
（2）以下证明满足条件②、③的要求.
∵矩形的一边长为，
而直角三角形的斜边长为，∴
设，则，
以为原点，分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设面的一个法向量为，，
∵
∴，取，则………………………6分
而面的一个法向量为，
设面与面所成的二面角为，则，
∴， ∴，
即当时，面与面所成的二面角不小于.     ……………………………8分
又， 由与均为直角知，面，该包装盒可视为四棱锥，

当且仅当，即时，的体积最大，最大值为.      …………………………………………………………………………………12分
而，可以满足面与面所成的二面角不小于的要求，
综上，该包装盒的设计符合客户的要求。            ………………………………………13分

解析