Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D。

Answer 1

（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1=DD1， 所以，BB1D1D是平行四边形， 所以，B1D1∥BD， 而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD， 所以B1D1∥平面A1BD． （2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC面ABCD， 所以BB1⊥AC， 又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B， 所以，AC⊥面BB1D， 而MD面BB1D， 所以MD⊥AC．
（3）解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D， 取DC的中点N，D1C1的中点N1， 连结NN1交DC1于O，连结OM， 因为N是DC中点，BD=BC， 所以，BN⊥DC； 又因为DC是面ABCD与 面DCC1D1的交线， 而面ABCD⊥面DCC1D1， 所以，BN⊥面DCC1D1， 又可证得，O是NN1的中点， 所以，BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形， 所以，BN∥OM， 所以，OM⊥平面CC1D1D， 因为OM面DMC1， 所以，平面DMC1⊥平面CC1D1D．