Question

已知函数f（x）满足f(x)=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)为f（x）在点x=

2

3

的导数，C为常数）
（I）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，求常数C；
（II）在（I）的条件下，若f(-

1

3

)＞0，求函数f（x）的图象与X轴围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（I）由已知可解得c的值，然后把三次方程f（x）=0有且只有两个不等的实根转化为函数的极大值或极小值为0来求解；
（II）结合题意和（I）可的c=1，可解出三次方程x³-x²-x+1=0的两个根为±1，然后由定积分可知图象的面积为

∫ 1 -1 (x3-x2-x+1)dx

，解出即可．

解答：解：（I）∵函数f（x）满足f(x)=x3+f′(

2

3

)x2-x+c
求其导数可得：f′(x)=3x2+2f′(

2

3

)x-1
把x=

2

3

代入可得

f′( 2 3 )=3( 2 3 )2+2f′( 2 3 ) 2 3 -1

，解得f′（

2

3

）=-1
∴

f(x)=x3-x2-x+c

，
∴f′（x）=3x²-2x-1
由f′（x）=0，可解得x1=-

1

3

，x₂=1，
并且当x∈（-∞，-

1

3

）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-

1

3

，1）时
f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故函数f（x）在x=-

1

3

处取到极大值

f(- 1 3 )=c+ 7 27

，在x=1处取到极小值f（1）=c-1，
所以当方程f（x）=0有且只有两个不等的实根，则只需f(-

1

3

)=0或f（1）=0，
解得c=-

1

27

或c=1．
（II）在（I）的条件下，若f(-

1

3

)＞0，则c＞-

1

27

，
∴c=1，故f（x）=x³-x²-x+1
可解得方程f（x）=x³-x²-x+1=0的两个根为±1，
∴函数f（x）的图象与对轴围成的封闭图形的面积为

∫ 1 -1 (x3-x2-x+1)dx

=( 1 4 x4- 1 3 x3- 1 2 x2+x) | 1 -1 = 4 3

点评：本题为导数与定积分的综合应用，正确求解c的值是解决问题的关键，属中档题．