Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度得到，写出y=g（x）的解析式及并求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）根据所给的函数的解析式，对函数的解析式利用二倍角公式和两角和的正弦公式进行整理，根据周期的值求出x的系数，写出函数的解析式．
（II）根据函数的图象的平移的原则，写出新的函数的解析式，根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间

解答：解：（I）f（x）=1+2sinωxcosωx+1+cos2ωx
=2+sin2ωx+cos2ωx
=2+

2

sin(2ωx+

π

4

)
 T=

2π

|2ω|

=

π

2

，ω＞0∴ω=2∴f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
（II）由y=f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度得到
g(x)=2+

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]
=2+

2

sin(4x-

π

4

)
2kπ-

π

2

≤4x-

π

4

≤2kπ+

π

2

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

∴x∈[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]时，g(x)单调递增

点评：本题看出三角函数的恒等变化和函数的图象的平移，本题解题的关键是正确写出函数的解析式，这是后面解题的依据，本题是一个中档题目．