Question

如果把直角三角形的三边都减少同样的长度，仍能构成三角形，则这个新的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由减少的长度决定

Answer 1

分析：先设出原来的三边为a、b、c且c²=a²+b²，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a-x、b-x、c-x，知c-x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为钝角三角形．

解答：解：设减小同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c²=a²+b²，c为最大边．
则新的三角形的三边长为a-x、b-x、c-x，可知c-x为最大边，其对应角最大．
由于a-x+b-x＞c-x，∴a+b-c＞x，
而（a-x）²+（b-x）²-（c-x）²=x²-2（a+b-c）x=x[x-2（a+b-c）]
＜x[（a+b-c）-2（a+b-c）]=x[-（a+b-c）]=-x＜（a+b-c）＜0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为

(a-x)2+(b-x) 2 -(c-x) 2

2(a-x)(b-x)

＜0，
故新三角形的最大角为钝角，新三角形为钝角三角形，
故选C．

点评：本题主要考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于中档题．