Question

如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F₁是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：；
（3）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是20 ，求此时椭圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）

解析试题分析：（1）由椭圆方程可知。将代入椭圆方程可得，分析可知点在第一象限，所以。由两直线平行斜率相等，可得，解得，所以，从而可得离心率。（2）由椭圆的定义知,且，在中用余弦定理可得，用基本不等式可证得，即，所以在中。（3）由（1）可得，即直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为过点可得直线的方程为，将此直线方程与椭圆方程联立消去得关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。可将分割长以为同底的两个三角形，两三角形的高的和为（还可用弦长公式求在用点到线的距离公式求高，然后再求面积）。根据三角形面积为可求的值，从而可得椭圆方程。
（1）易得    4分
（2）证：由椭圆定义得：

   8分
（3）解：设直线PQ的方程为 ．代入椭圆方程消去x得：
，整理得：
∴
因此a²＝50，b²＝25，所以椭圆方程为            12分
考点：1椭圆的简单几何性质；2余弦定理；3基本不等式；4直线与椭圆的位置关系问题。