Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，试求函数图线过点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，若关于x的方程f（x）=x+b有唯一实数解，试求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx，f′（x）=2x﹣2+ ， 则f（1）=﹣1，f'（1）=2，
所以切线方程为y+1=2（x﹣1），
即为y=2x﹣3．
（Ⅱ）a=1时，f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），
若关于x的方程f（x）=x+b有唯一实数解，
即b=x2﹣3x+lnx有唯一实数解，（x＞0），
令g（x）=x2﹣3x+lnx，（x＞0），
则g′（x）=2x﹣3+ = = ，
令g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜ ，
令g′（x）＜0，解得： ＜x＜1，
故g（x）在（0， ）递增，在（ ，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）极大值=g（ ）=﹣ ﹣ln2，g（x）极小值=g（1）═﹣2，
故b＞﹣ ﹣ln2，或b＜﹣2；
（Ⅲ）f′（x）=2x﹣2+ = （x＞0），
令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，
当△=4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜ 时，由2x2﹣2x+a=0，得x1，2= ，
由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ；
由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ，
故若函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜ ，
由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，x1= ，x2= ，
由0＜a＜ ，可得0＜x1＜ ， ＜x2＜1，
= =
=1﹣x1+ +2x1lnx1 ，
令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），
h′（x）=﹣1﹣ +2lnx，
由0＜x＜ ，则﹣1＜x﹣1＜﹣ ， ＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）递减，
即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，
即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣ ﹣ln2]
【解析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）问题转化为b=x2﹣3x+lnx有唯一实数解，（x＞0），令g（x）=x2﹣3x+lnx，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的极值，从而求出b的范围即可；（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜ ，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．