Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足b+c=

3

a，设

m

=[cos（

π

2

+A），-1]，

n

=（cosA-

5

4

，-sinA），

m

∥

n

，试求角B的大小．

Answer 1

分析：由

m

∥

n

，可得-sinA（-sinA）+cosA-

5

4

=0，整理可求cosA=

1

2

，结合0＜A＜π可求A=

1

3

π，B+C=

2π

3

，由b+c=

3

a，结合正弦定理可得sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

可求B

解答：解：∵

m

=[cos（

π

2

+A），-1]=（-sinA，-1），

n

=（cosA-

5

4

，-sinA），
又∵

m

∥

n

，
∴-sinA（-sinA）+cosA-

5

4

=0即sin²A+cosA-

5

4

=0
∴cos2A-cosA+

1

4

=0
∴cosA=

1

2

∵0＜A＜π
∴A=

1

3

π，B+C=

2π

3

∵b+c=

3

a，
由正弦定理可得sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

∴sinB+sin(

2π

3

-B)=

3

2

∴sinB+sin

2π

3

cosB-sinBcos

2π

3

=

3

2

整理可得，sin（B+

π

6

）=

3

2

∵0＜B＜

2π

3

∴B+

π

6

=

π

3

或B+

π

6

=

2π

3

∴B=

π

6

或B=

π

2

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用，同角平方关系的应用，正弦定理及两角和与差的三角函数的应用，属于三角函数知识的综合应用．