Question

是否存在α、β，α∈（-

π

2

，

π

2

），β∈（0，π）使等式sin（3π-α）=

2

cos（

π

2

-β），

3

cos（-α）=-

2

cos（π+β）同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．

解答：答：存在满足要求的α、β．
解：由条件得

sinα= 2 sinβ                                                                        ① 3 cosα= 2 cosβ.                                                                  ②

①²+②²得sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=

1

2

即cosα=±

2

2

．
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α=

π

4

或α=-

π

4

．
将α=

π

4

代入②得cosβ=

3

2

．又β∈（0，π），
∴β=

π

6

，代入①可知，符合．
将α=-

π

4

代入②得β=

π

6

，代入①可知，不符合．
综上可知α=

π

4

，β=

π

6

．

点评：本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．