Question

已知函数f（x）=x（1-x²），x∈R．
（1）当x＞0时，求f（x）的最大值；
（2）当x＞0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）试作出函数f（x）（x∈R）的简图．

Answer 1

分析：（1）可以利用导数求最大值，也可利用均值不等式进行求解，将f（x）=x（1-x²）变形得y²=x²（1-x²）²=

1

2

•2x²（1-x²）（1-x²），利用和定积最大，求出最值，注意等号成立条件．
（2）“f（x）的单调性，并用定义证明”，即设x₂＞x₁＞0，比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小．
（3）函数f（x）（x∈R）的简图中必须注明特殊的点：（-1，0）、（0，0）、（1，0），有对称性．

解答：解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1-x²＞0，
y²=x²（1-x²）²=

1

2

•2x²（1-x²）（1-x²）≤

1

2

•[

2x2+(1-x2)+(1-x2)

3

]³=

4

27

，
∴y≤

2

3 3

=

2 3

9

．
当且仅当2x²=1-x²，即x=

3

3

时，取“=”，即f（x）_max=f（

3

3

）=

2 3

9

．

（2）由（1）知，
当x∈（0，

3

3

]时，f（x）单调递增，x∈[

3

3

，+∞）时，f（x）单调递减．
设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=-x₂³+x₂-（-x₁³+x₁）
=（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）]．
当0＜x₁＜x₂≤

3

3

时，x₂-x₁＞0，1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，

3

3

]上递增．
当

3

3

≤x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0，1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在[

3

3

，+∞）上递减．
（3）注：图象过点（-1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称．

点评：本题考查利用基本不等式求最值的方法，函数单调性的证明以及函数图象．
第（1）题也可用导数解决．
∵f′（x）=1-3x²，
令f′（x）=0，∴x=±

3

3

．
又x＞0，∴x=

3

3

．
通过检验单调性知，当x=

3

3

时，f（x）取得最大值，其最大值为

2 3

9

，以下解法同上．