Question

(1)已知不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β，α∈R⁺}，求不等式cx²＋bx＋a＜0的解集．

(2)已知集合A＝{x|2x²＋7x－15＜0}，B＝{x|x²＋ax＋b≤0}，满足A∩B＝，A∪B＝{x|－5＜x≤2}，求实数a，b的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数，先判定系数的符号，再利用根与系数的关系即可求出． 　　(2)化简集合A＝{x|－5＜x＜}，从A∩B＝，A∪B＝{x|－5＜x≤2}入手． 　　解答　　(1)方法1：∵原不等式的解为α＜x＜β， 　　∴a＜0 　　由韦达定理，得α＋β＝－，α·β＝，对cx2＋bx＋a＜0两边同除以a，得x2＋x＋1＞0． 　　∴αβx2－(α＋β)x＋1＞0． 　　即(αx－1)(βx－1)＞0 　　又β＞α＞0，∴＜． 　　故cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜或x＞}， 　　方法2：∵a＜0， 　　∴x＝0是cx2＋bx＋a＜0的一个解． 　　当x≠0时，x2＞0，对不等式cx2＋bx＋a＜0两边同除以x2得： 　　a·()2＋b·＋c＜0(*)， 　　∵ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}． 　　∴(*)的解为＞β或＜α 　　即x＜或x＞， 　　解集为{x|x＜或x＞}． 　　(2)A＝{x|2x2＋7x－15＜0}＝{x|－5＜x＜－} 　　∵A∩B＝，A∪B＝{x|－5＜x≤2} 　　∴B＝{x|≤x≤2}， 　　故x2＋ax＋b≤0的解集为{x|≤x≤2} 　　由(x－)(x－2)＝x2＋ax＋b得a＝，b＝3． 　　评析　　本题(1)体现了一元二次不等式与二次方程的联系，而不等式往往作为基本工具结合在其他知识之中，这体现了不等式知识的综合性．