Question

（00全国卷）（12分）

如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且=

（I）证明：⊥BD；

    （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明

 

Answer 1

解析：（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结

 

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，                                      ――3分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面

又 平面，

∴ BD                                      ――6分

（II）当时，能使⊥平面

证明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=

∴ 三棱锥C- 是正三棱锥                     ――9分

设与相交于G

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1

又 是正三角形的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面

即 ⊥平面                           ――12分

证明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥                ――9分

当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥的证法可得⊥

又 BD∩=B，

∴⊥平面                             ――12分