Question

【题目】（本小题满分12分）

在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1） 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，

又，平面，

∴平面. …………2分

过作交于，则平面.

∵平面，

∴. …………4分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴， ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面. ………………………7分

∵平面,

∴. ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴……………………9分

取的中点，连结，

∵四边形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥Z|X|X|K]

∴是二面角的平面角， ………………………12分

由计算得

∴………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴两两垂直. ……………………2分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………4分

∴，，………6分

∴, ………7分

∴. …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量. ………………………9分

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则…………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………………………14分

【解析】

（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明

，可得BD⊥EG；
（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量

，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

（Ⅰ），，，

，．又，

BE，EF，AE两两垂直．

以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

由已知得，，，，，，，

，．

，．

（Ⅱ）由已知得是平面DEF的法向量，

设平面的DEG法向量为，

，，

即令，得，

设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，

则．

平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．