Question

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=

3

3

x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．
（Ⅰ）证明：{r_n}为等比数列；
（Ⅱ）设r₁=1，求数列{

n

rn

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）求直线倾斜角的正弦，设C_n的圆心为（λ_n，0），得λ_n=2r_n，同理得λ_n+1=2r_n+1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{r_n}中r_n+1与r_n的关系，证明{r_n}为等比数列；
（2）利用（1）的结论求{r_n}的通项公式，代入数列

n

rn

，然后用错位相减法求和．

解答：解：（1）将直线y=

3

3

x的倾斜角记为，则有tanθ=

3

3

，sinθ=

1

2

，
设C_n的圆心为（λ_n，0），则由题意得知

rn

λn

=

1

2

，得λ_n=2r_n；同理
λ_n+1=2r_n+1，从而λ_n+1=λ_n+r_n+r_n+1=2r_n+1，将λ_n=2r_n代入，
解得r_n+1=3r_n
故|r_n|为公比q=3的等比数列．
（Ⅱ）由于r₁=1，q=3，故r_n=3^n-1，从而

n

rn

=n*31-n，
记Sn=

1

r1

+

2

r2

++

n

rn

，
则有S_n=1+2•3^-1+3•3^-2+…+n•3^1-n

Sn

3

=1*3-1+2*3-2+…+(n-1)*31-n+n*3-n
①-②，得

2Sn

3

=1+3-1+3-2+…+31-n-n*3-n 
=

1-3-n

2 3

-n*3-n=

3

2

-(n+

3

2

)*3-n，
∴Sn=

9

4

-

1

2

(n+

3

2

)*31-n=

9-(2n+3)*31-n

4

点评：本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象概括能力以及推理论证能力．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项a_n与a_n+1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和S_n乘以公比，然后错位相减解决．