Question

如图，四棱锥中，底面是菱形，，，是的中点，点在侧棱上．

（1）求证：⊥平面；
（2）若是的中点，求证：//平面；
（3）若，试求的值．

Answer 1

（1）详见解析（2）详见解析（3）

试题分析：（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证垂直平面内两条相交直线，由，是的中点，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以垂直于，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证平行于平面内一条直线，根据是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.
试题解析：证明：（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以 AD⊥BE．
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．         4分
（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，
Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．  7分
因为PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．        9分
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为，，所以V_P-BCDE=S_BCDE，V_Q-ABCD=S_ABCD．  10分
因为V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面积S_BCDE=S_ABCD．  12分
所以，因为，所以．     14分