Question

已知x=1是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若直线y=n与函数y=f（x）的图象有3个交点，求n的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=（-5-a）lnx++（6-b）x+2（a＞0），G（x）=f（x）+g（x），若G（x）=0有两个不同零点x₁，x₂，且，试探究G′（x）值的符号．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导数f′（x），令f′（1）=0即可求得m值；
（Ⅱ）利用导数可求得函数f（x）的单调区间，由单调区间可得函数极大值、极小值，结合图象n大于极小值小于极小值，从而得到n的范围；
（Ⅲ）化简G（x），则G（x₁）=0，G（x₂）=0，两式相减并变形可得，于是G′（x）可用x₁，x₂表示，构造关于t=的函数，按0＜x₁＜x₂，0＜x₂＜x₁两种情况进行讨论可判断G′（x）的符号；
解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）x-6+，
所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x＞0），
所以f′（x）=x-6+=，
当x∈（1，5）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（5，+∞）或x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）的极大值为f（1）==-，
极小值为f（5）==-+5ln5，
又x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
结合图象可知：当且仅当f（5）＜n＜f（1）时，直线y=n与函数y=f（x）的图象有3个交点，
∴-+5ln5＜n＜-；
（III）G′（x）的符号为正．证明如下：
因为G（x）=f（x）+g（x）=+（-5-a）lnx++（6-b）x+2=x²+2-alnx-bx有两个零点x₁，x₂，
所以有，
两式相减得-b（x₂-x₁）=0，即，
于是-b=
=-=[ln-]=[ln]，
①，令=t，则t＞1，且G′（x）=（lnt-）．
设u（t）=lnt-（t＞1），
则u′（t）==＞0，
则u（t）=lnt-在（1，+∞）上为增函数．
而u（1）=0，所以u（t）＞0，即lnt-＞0．
又因为a＞0，x₂-x₁＞0，所以G′（x）＞0．
②当0＜x₂＜x₁时，同理可得：G′（x）＞0．
综上所述：G′（x）的符号为正．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、函数的零点等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想及函数与方程思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．