Question

已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数满足：
①对任意的，，当时，有成立；
②对恒成立.求实数的取值范围.

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

解析试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性和最值等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问，对求导，求导后还无法直接判断的正负，所以再次求导，得到恒大于0，则在上单调递增，而，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；第二问，<1>由第一问函数的单调性可知，必异号，不妨设，先证明一个结论：当时，对任意的有成立，当时，对任意的有成立，构造函数，利用函数研究函数的单调性和最值证明结论，最后得出结论，当时，当且仅当时，有成立；<2>由题意分析只需即可，通过上一步的证明，得到，而在和中取得，作差比较和的大小，从而得到，代入到上式即可.
试题解析：（1），
令，则，
从而在上单调递增，即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当，时，必异号，不妨设，
我们先证明一个结论：当时，对任意的有成立；
当时，对任意的有成立.
事实上，，
构造函数，，
，（当且仅当时等号成立），又，
当时，，所以