Question

在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=24m．设灯柱高AB=h（m），∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
（1）求灯柱的高h（用θ表示）；
（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得∠BAC=60°-θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．△ACD中，利用正弦定理求得AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得得h．
（2）在△ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据 S=AB+BC=8

3

+16sin（2θ+30°）．根据30°≤θ≤45°，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值．

解答：解：（1）如图所示：由于∠ABC=120°，∠ACB=θ，∴∠BAC=60°-θ．
∵∠BAD=90°，∴∠CAD=90°-（60°-θ）=30°+θ．
∵∠ACD=60°，∴∠ADC=90°-θ．
△ACD中，由于AD=24，由正弦定理可得

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

，
即

AC

sin(90°-θ)

=

24

sin60°

，解得AC=16

3

cosθ．
在△ABC中，由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，
即 

h

sinθ

=

16 3 cosθ

sin120°

，解得 h=16sin2θ．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，即

BC

sin(60°-θ)

=

16 3 cosθ

sin120°

，
求得BC=32cosθsin（60°-θ）=8

3

+8

3

cos2θ-8sin2θ．
∴S=AB+BC=8

3

+8

3

cos2θ+8sin2θ=8

3

+16

3

sin（2θ+30°）．
∵30°≤θ≤45°，∴90°≤2θ+30°≤120°，
∴当 2θ+30°=120°，即θ=45°时，S取得最小值为（8

3

+24）米．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．