Question

关于函数f（x）=4sin(2x+

π

3

)（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos(2x-

π

6

)；
③y=f（x）的图象关于点(

π

6

，0)对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称．
其中正确的命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．

解答：解：函数f（x）=4sin(2x+

π

3

)的最小正周期T=π，
由相邻两个零点的横坐标间的距离是

T

2

=

π

2

知①错．
利用诱导公式得f（x）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]
=4cos(

π

6

-2x)=4cos(2x-

π

6

)，知②正确．
由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，
将x=

π

6

代入得f（x）=4sin

2π

3

≠0，
因此点（

π

6

，0）不是f（x）图象的一个对称中心，
故命题③错误．
曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=-

π

6

时y=0，点
（-

π

6

，0）不是最高点也不是最低点，
故直线x=-

π

6

不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
故答案为：②

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．