Question

已知{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，则a1a2+a2a3+…+anan+1=

32

3

(1-4-n)

．

Answer 1

分析：由{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，利用等比数列的通项公式能求出an=4×(

1

2

)n-1=8×(

1

2

)n．再由{a_na_n+1}是首项为8，公比为

1

4

的等比数列，能求出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．

解答：解：∵{a_n}是等比数列，a2=2，a5=

1

4

，
∴

a1q=2 a1q4= 1 4

，
解得a1=4，q=

1

2

，
∴an=4×(

1

2

)n-1=8×(

1

2

)n．
a1a2=4×8•(

1

2

)2=8，
∵{a_n}是首项为4，公比为

1

2

的等比数列，
∴{a_na_n+1}是首项为8，公比为

1

4

的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

8[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

32(1-4-n)

3

．
故答案为：

32(1-4-n)

3

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．