Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，

π

2

]时，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]+f（3+2m）＞0对所有θ恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答时，首先要结合定义域和所给区间任设两个变量并保证大小关系，然后通过f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可获得相应变量对应函数值的大小关系，结合函数单调性的定义即可获得问题的解答．
（2）赋值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系，得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明．
（3）此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在m符合题意，然后将问题转化为恒成立的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答．

解答：解：（1）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0，
f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）令x₁=x₂=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（3）假设存在实数m，由条件得f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）?cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m则有

g(0)＞0 g(1)＞0

?m＞-1

点评：本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的奇偶性的判定，以及赋值法的应用，属于中档题，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识．值得同学们体会和反思．