Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD， ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，
设D（ ，b，0），则C（2 ，0，0），P（0，0，2），E（ ，0， ），B（ ，﹣b，0）
∴ =（2 ，0，﹣2）， =（ ，b， ）， =（ ，﹣b， ）
∴ = ﹣ =0， =0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II） =（0，0，2）， =（ ，﹣b，0）
设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），则
取 =（b， ，0）
设平面PBC的法向量为 =（p，q，r），则
取 =（1，﹣ ， ）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴ =b﹣ =0．故b=
∴ =（1，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣ ，2）
∴cos＜ ， ＞= =
设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0， ]，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°

【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（ ，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对向量语言表述线面的垂直、平行关系的理解，了解要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若．