Question

（2013•和平区二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面节ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．
（I）求证：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（III）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A₁O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A₁AB的法向量，证明OE与法向量垂直即可；
（III）利用向量的夹角公式，即可求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A₁（0，0，

3

），C₁（-2，0，

3

），E（-1，

1

2

，

3

2

）
则有：

AA1

=(-1，0，

3

)，

AB

=(-1，1，0)，

OE

=（-1，

1

2

，

3

2

）
设平面A₁AB的法向量为

n

=（x₀，y₀，z₀），则由

n • AA1 =0 n • AB =0

，可得

-x0+ 3 z0=0 -x0+y0=0

故可取

n

=(

3

，

3

，1)
∴

OE

•

n

=0
∵OE?平面A₁AB
∴OE∥平面A₁AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴

A1C

=（-1，0，-

3

）
∵平面AA₁B的一个法向量为

n

=(

3

，

3

，1)
∴|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

- 3 +0- 3

7 ×2

|=

21

7

∵因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量

n

与

A1C

所成锐角互余，
∴sinθ=

21

7

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．