Question

【题目】已知函数，，，且的最小值为0.

（1）若的极大值为，求的单调减区间；

（2）若，的是的两个极值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据的最小值为0分析可得，求导后，利用导数求出函数的极大值，与已知极大值相等列方程，可解得，从而可求得递减区间；

（2）将不等式转化为证，对任意恒成立，再构造函数，,利用导数可得到证明.

（1）因为的最小值为0，故对任意，即恒成立，

且存在实数使得，即能成立，

故关于x的一元二次方程根的判别式，故，

故，则

，

令，则或，故在和上单调递增，

令，则，故在上单调递减，

故是的唯一极大值点，则，解得，

故的单调减区间为.（写成，，均可得分）

（2）不妨设，由（1）可知，的极大值点，极小值点，

又，，故要证：，

即证，

即证，即证，对任意恒成立，

构造函数，，令，

则，故在上单调递减，又，故，

故在上单调递增，又，故，

即对任意恒成立，即对任意恒成立，

特别地，取，则有成立，

故原不等式成立.