Question

【题目】已知数列{an}满足an+1=﹣an2+2an ， n∈N* ， 且a1=0.9，令bn=lg（1﹣an）；
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{ }各项和．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}满足an+1=﹣an2+2an，n∈N*，

∴1﹣an+1= ，且a1=0.9，1﹣a1=0.1．

对1﹣an+1= 两边取对数可得：lg（1﹣an+1）=2lg（1﹣an），

∵bn=lg（1﹣an），∴bn+1=2bn．

∴数列{bn}是等比数列，公比为2，首项为﹣1

（2）解：由（1）可得：bn=﹣2n﹣1．

=﹣ ．

∴数列{ }各项和= = =﹣2

【解析】（1）数列{an}满足an+1=﹣an2+2an ， n∈N* ， 变形为1﹣an+1= ，两边取对数可得：lg（1﹣an+1）=2lg（1﹣an），可得：bn+1=2bn ． 即可证明．（2）由（1）可得：bn=﹣2n﹣1. =﹣ ．再利用无穷等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．