Question

【题目】已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.

（1）求三棱柱的高；

（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比.

Answer 1

【答案】（1）10或5（2） 或

【解析】

（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，根据相似比有，再根据正三棱柱的侧面积为120，有，两式联立求解.

（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解.

（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示:

则

解得

又因为正三棱柱的侧面积为120.

所以

所以

解得 或

所以三棱柱的高是10或5.

（2）因为面积之比等于相似比的平方，

所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或 .