Question

已知数列的前项和为，且满足，

（Ⅰ）求，, ，并猜想的表达式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论。

Answer 1

（Ⅰ） a＝, a＝, a＝,猜测 a＝2－ 

   （Ⅱ）证明见解析 

解析:

（Ⅰ）a＝, a＝, a＝,     ---------3分 

猜测 a＝2－                    ---------------6分

（Ⅱ）①由（1）已得当n＝1时，命题成立；       --------8分

②假设n＝k时,命题成立，即 a＝2－,      

当n＝k＋1时, a+ a＋……a＋a＋a＝2(k＋1)＋1, ----------10分

且a+ a＋……＋a＝2k＋1－a

∴2k＋1－a＋2 a＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2 a＝2＋2－,  a＝2－,                 

  即当n＝k＋1时,命题成立.                       ----12分

根据①②得n∈N+  , an＝2－都成立      -----13分