Question

【题目】已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C与A、B两点，△AF2B的周长为，且椭圆C经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当AB的中点坐标为时，求△AF2B的面积．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义求出a，再由椭圆上的点满足椭圆方程求出即可.

（2）根据已知设出直线方程，将直线与椭圆联立，利用中点弦公式求出直线方程，

再由弦长公式以及点到直线的距离即可求解.

（1）∵△AF2B的周长为4，故4a＝4，即a，

又椭圆经过点（1，），∴1，即b＝1，

∴椭圆方程为y2＝1．

（2）由椭圆方程可知F1（﹣1，0），F2（1，0）．

∵AB的中点（，）在第二象限，显然直线AB有斜率且斜率大于0，

设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k＞0），

代入椭圆方程可得：（k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），即

，

解得：k＝1，于是x1x2＝0，

∴|AB|．

又直线AB的方程为：y＝x+1，F2（1，0），

∴F2到直线AB的距离d，

∴△ABF2的面积为．