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    椭圆
    x24
    +y2=1    的内接矩形的面积的最大值为
     
    ．
    分析：由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
    与椭圆的方程联立距离解得第一象限的顶点A（x，y），再利用内接矩形的面积S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．
    解答：解：由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
    设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
    联立
    y=kx
    x2
    4
    +y2=1
    ，
    化为（1+4k2）x2=4，取第一象限的顶点A（x，y），
    解得x=
    2
    		1+4k2
    ，∴y=
    2k
    		1+4k2
    ．
    ∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×
    4k
    1+4k2
    =
    16
    1
    k
    +4k
    ≤
    16
    2
    1
    k
    •4k
    =4．当且仅当k=
    1
    2
    上取等号．
    故椭圆
    x2
    4
    +y2=1    的内接矩形的面积的最大值为4．
    故答案为：4．
    点评：本题考查了椭圆的对称性、内接矩形的面积的最大值问题、基本不等式的性质，属于难题．
    练习册系列答案
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    x2
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    +y2=1    的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（　　）
    A、
    		3
    2
    B、
    		3
    C、
    7
    2
    D、4

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    精英家教网如图，已知椭圆
    x24
    +y2=1    的焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为
     
    ．

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    已知△AOQ，O为坐标原点，点A（1，0），Q为椭圆
    x24
    +y2=1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．

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    x2
    4
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    x2
    4
    +y2=1    于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=-
    15
    8
    ，假设k3＞0，则k3的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上饶二模）已知椭圆
    x2
    4
    +y2=1    的下顶点为A，点B是椭圆上的任意的一点，点C、D是直线x-y-4=0上的两点（C在D的下方），则
    AB
    •
    CD
    |
    CD
    |
    的最大值是（　　）

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