Question

已知平面向量

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），

c

=

1

4

a

+m

b

，

d

=

a

cos²x+

b

sinx，f（x）=

c

•

d

，x∈R，设g（x）=f（x）-m²+msinx，问是否存在实数m，使得y=g（x）有最大值-8？若存在，求所有满足条件的m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,存在型,平面向量及应用

分析：运用向量的坐标表示，求出

a

•

b

=0，

a

²=4，

b

²=1，化简f（x），g（x），配方得，g（x）=-（sinx-m）²+1，由sinx∈[-1，1]，结合最大值得到m∉[-1，1]，从而推出g（-1）=-8或g（1）=-8，求出m，然后根据单调性，检验得到m的值．

解答： 解：∵

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴

a

•

b

=-

3

2

+

3

2

=0，|

a

|²=

a

²=4，|

b

|²=

b

²=1，
∴f（x）=

c

•

d

=（

1

4

a

+m

b

）•（

a

cos²x+

b

sinx）=

1

4

cos²x•

a

²+msinx•

b

²+（mcos²x+

1

4

sinx）•

a

•

b

=cos²x+msinx，
∴g（x）=f（x）-m²+msinx=cos²x+2msinx-m²=1-sin²x+2msinx-m²=-（sinx-m）²+1，
假设存在实数m，使得y=g（x）有最大值-8，
则∵sinx∈[-1，1]，∴m∉[-1，1]，
∴g（-1）=-8或g（1）=-8，即1-（m+1）²=-8或1-（m-1）²=-8，
解得，m=±2，±4．
当m=2或4时，[-1，1]为增区间，sinx=1时，g（x）最大，m=4成立；
当m=-2，或-4时，[-1，1]为减区间，sinx=-1时，g（x）最大，m=-4成立；
故存在实数m，使得y=g（x）有最大值-8，且m=±4．

点评：本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算和向量的模的运算，同时考查三角函数的最值，属于中档题．