Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），对任意x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（ ）．且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）验证函数f（x）=lg 是否满足这些条件；
（2）若f（ ）=1，f（ ）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f（﹣ ）=1，试解关于x的方程f（x）=﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1）

又 = =

又当x＜0时，1﹣x＞1+x＞0，∴ ∴

故 满足这些条件

（2）解：令x=y=0，∴f（0）=0，

令y=﹣x，有f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）为奇函数

由条件得 ，解得

（3）解：设﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0， ，

则 ，f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上是减函数

∵

原方程即为 ，

∴

又∵

故原方程的解为

【解析】（1）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足 ，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；（2）先判定函数的奇偶性，然后 建立f（a），f（b）的方程组，解之即可；（3）先判定函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，然后得到 ，建立关于x的方程，解之即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的值，需要了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能得出正确答案．