Question

（1）设a＞0，解关于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0；
（2）对于任意给定的a≥2，由（1）所确定的y解集（用区间表示）记为I（a），我们规定：区间[m，n]的长度为n-m．如果I（a）的长度为r（a），试求当a取什么值时，r（a）取得最小值，并求r（a）的最小值及此时的I（a）．

Answer 1

分析：（1）由a＞0，解方程y²-2（

a

+

1

a

）y+1=0，得y₁=

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，y₂=

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

，由此能求出关于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0的解集．
（2）设y=x+

1

x

+1，利用导数能求出y=x+

1

x

+1在[2，+∞）内是增函数．故a≥2，r（a）=（

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

=2

a+ 1 a +1

≥

14

．由此能求出当a取什么值时，r（a）取得最小值，并能求出r（a）的最小值及此时的I（a）．

解答：解：（1）∵a＞0，y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0，
∴△=4（

a

+

1

a

）²-4=4（a+

1

a

+1）＞0，
解方程y²-2（

a

+

1

a

）y+1=0，
得y₁=

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，y₂=

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

，
∴关于y的不等式y2-2(

a

+

1

a

)y+1≤0的解集为：
[

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

，

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

]．
（2）设y=x+

1

x

+1，则y′=1-

1

x2

，当x≥2时，y′＞0，
∴y=x+

1

x

+1在[2，+∞）内是增函数．
∵a≥2，区间[m，n]的长度为n-m，
∴r（a）=（

a

+

1

a

+

a+ 1 a +1

）-（

a

+

1

a

-

a+ 1 a +1

）
=2

a+ 1 a +1

≥

14

．
当a=2时，r（a）取最小值

14

，
此时I（a）=[

3 2 - 14

2

，

3 2 + 14

2

]．

点评：本题以一元二次不等式为载体考查函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的灵活运用．