Question

如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=2,BC=1,∠BCC₁=.

(1)求证：C₁B⊥平面ABC；

(2)试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；

(3)在(2)的条件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值.

Answer 1

解：(1)因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁.

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=,

由余弦定理得

BC₁=

==.

故有BC²+BC₁²=CC₁²,∴C₁B⊥BC.

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC,

∴C₁B⊥平面ABC.

(2)由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE,

从而B₁E⊥平面ABE,且BE平面ABE,故BE⊥B₁E.

不妨设CE=x,则C₁E=2-x,则BE²=1+x²-x.

又∵∠B₁C₁C=,则B₁E²=x²-5x+7,

在Rt△BEB₁中,有x²-5x+7+x²-x+1=4,

从而x=1或x=2（舍去）.

故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁.

(3)取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M,

连DF,则DF∥A₁B₁，连DN,则DN∥BE，连MN,则MN∥A₁B₁,

连MF,则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE.

又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁,故∠MDF为所求二面角的平面角.

在Rt△DFM中,DF=A₁B₁=（∵△BCE为正三角形）,

MF=BE=CE=,

∴tan∠MDF=.