Question

本题满分14分）
在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；

Answer 1

解：（1）容易求得：，；
猜想， 证明：见解析.
（2）见解析.

本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用，以及运用哦递推关系式来求解数列的前几项，并且能运用数学归纳法加以证明，同时对于构造的新数列也能利用裂项法求和的综合运用。
（1）利用递推关系，对于n赋值分别得到前几项，并猜想其通项公式，运用数学归纳法加以证明
（2）根据上一问的结论，表示新数列的通项公式，然后利用裂项的思想求和并证明不等式问题。
解：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：
（i）          显然当时，结论成立，-----------------（3分）
（ii）        假设当；时（也可以），结论也成立，即
，--------------------------（4分）
那么当时，由题设与归纳假设可知：
------------（6分）
即当时，结论也成立，综上，对,成立。--------（7分）
（2）---（9分）
所以
---------（11分）
所以只需要证明
（显然成立）
所以对任意的自然数，都有-------（14分）