Question

如图1是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，．求此几何体的体积．

Answer 1

分析：因原几何体是不规则几何体，故需要用割补法进行求解，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，则几何体分成三棱柱和四棱锥，由题意求出四棱锥的高，代入对应的体积公式分别求出它们的体积，最后要加在一起．

解答：解：过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂．如图2，
则原几何体可视为四棱锥B-ACC₂A₂与三棱柱A₁B₁C₁-A₂BC₂的组合体．
作BH⊥A₂C₂于H，则BH是四棱锥的高，
∵A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，∴BH=

2

2

，
∴VB-ACC2A2=

1

3

SACC2A2•BH=

1

3

•

1

2

•（1+2）

2

•

2

2

=

1

2

∴VA1B1C1=S△A1B1C1-BB₁=1，
故所求几何体体积为

3

2

．

点评：本题考查了用割补法求简单几何体的体积，即根据几何体的特征对几何体进行适当的割补后，通过题意求出每部分的体积，再加在一起即可，考查了空间想象能力．