Question

过双曲线的mx²-y²=m（m＞1）的左焦点作直线l交双曲线于P、Q两点，若|PQ|=2m，则这样的直线共有

3

条．

Answer 1

分析：根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答：解：将双曲线化为标准形式可得：x²-

y2

m

=1，则a=1，b=

m

；
若PQ只与双曲线右支相交时，|PQ|的最小距离是通径，长度为

2b2

a

=2m，
此时只有一条直线符合条件；
若PQ与双曲线的两支都相交时，此时|PQ|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，
结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；
综合可得，有3条直线符合条件；
故答案为3．

点评：本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．