Question

记关于x的不等式

3

x

＞1（x∈Z）的解集为A，关于x的方程x²-mx+2=0的解集为B，且B⊆A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先通过移项通分将分式不等式化为一边为0且x的系数为正的形式，利用穿根求出解集即求出集合A．
（II）据B⊆A．分类讨论写出集合B，利用二次方程的判别式就B的各种情况求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）

3-x

x

＞0?

x-3

x

＜0?x(x-3)＜0?0＜x＜3，
又∵x∈Z，∴A={1，2}；
（Ⅱ）集合A={1，2}的子集有?、{1}、{2}、{1，2}．∵B⊆A，∴B=?；B={1}或{2}；B={1，2}．
当B=?时，△=m²-8＜0，解得-2

2

＜m＜2

2

．
当B={1}或{2}时，

△=m2-8=0 1-m+2=0

或

△=m2-8=0 4-2m+2=0.

，则m无解．
当B={1，2}时，

△=m2-8＞0 1+2=m 1×2=2.

?

m＜-2 2 或m＞2 2 m=3.

?m=3.
综上所述，实数m的取值范围是-2

2

＜m＜2

2

或m=3．

点评：本题考查分式不等式的解法；利用集合的关系求集合；利用判别式判断二次方程根的情况．