Question

【题目】选修4一1：几何证明选讲 如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．

Answer 1

【答案】证：（Ⅰ）连接AC，AB是直径，则BC⊥AC 由BC∥ODOD⊥AC

则OD是AC的中垂线∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．
（Ⅱ） BC∥OD∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO△ABC∽△AOD
BC= = =
BE=
【解析】（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥ODOD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．（Ⅱ）由 BC∥OD∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．