Question

判断下列函数的奇偶性．
（1）y=lg

tanx+1

tanx-1

；
（2）f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)．

Answer 1

分析：（1） 自变量的取值范围：x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，，定义域关于原点对称，再利用对数的运算性质，得到g（-x）=-g（x），g（x）是奇函数．
（2）函数定义域是实数集，关于原点对称，再利用对数的运算性质，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数．

解答：解：（1）由题意知，

tanx+1

tanx-1

＞0，∴tanx＞1 或tanx＜-1，∴x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，
定义域关于原点对称，设g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

；  则 g（-x）=lg

tan(-x)+1

tan(-x)-1

=lg

tanx-1

tanx+1

=-lg

tanx+1

tanx-1

=-g（x），∴g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

是奇函数．
（2）函数定义域是实数集，f（-x）=lg（sin（-x）+

1+sin2x

）=lg（

1+sin2x

-sinx）
=lg

1

sinx+ 1+sin2x

=-lg（sinx+

1+sin2x

）=-f（x）．∴函数f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函数．

点评：本题考查判断函数奇偶性的方法：先看函数的定义域手否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，依据奇偶函数的定义进行判断．